今回のテーマは二平方和問題，四平方和問題，八平方和問題に対するテータ関数の応用である．

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【１】ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2（二平方和問題）

　和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．

　　２＝（±１）^2＋（±１）^2

しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は

　　５＝（±２）^2＋（±１）^2

　　５＝（±１）^2＋（±２）^2

と書けるから８通りに表せる．そこで

［Ｑ］どんな整数ｎが２つの平方数の和として表されるか？　正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法の総数ｒ2（ｎ）を表す式を求められるか？

　どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，

　　ｐ＝１　　　（ｍｏｄ３）

　　ｑ＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　ｍ＝２^aΠｐ^bΠｑ^c

において，すべてのｃが偶数のとき，ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2に対する解は存在するのです（必要十分条件）．

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　そして，正の整数ｎの約数で４ｋ＋１の形のものの個数をｄ1（ｎ），４ｋ＋３の形のものの個数をｄ3（ｎ）とすると

　　ｒ2（ｎ）＝４（ｄ1（ｎ）−ｄ3（ｎ））

が成り立ちます．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^2＝Σｒ2（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

すなわち，ｒ2（ｎ）の母関数はθ（τ）^2と一致する．

　また，

　　θ（τ）^2＝１＋４Σｑ^n／（１＋ｑ^2n）

　　　　　　　＝１＋４Σ｛ｑ^n／（１−ｑ^4n）−ｑ^3n／（１−ｑ^4n）｝

　　　　　　　＝１＋４Σ（ｄ1（ｎ）ｑ^n−ｄ3（ｎ）ｑ^n）｝

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【２】ｎ＝□＋□＋□＋□（四平方和問題）

［Ｑ］正の整数ｎはすべて４つの平方数の和として表されるか？　正の整数ｎを４つの平方数の和で表す方法の総数ｒ4（ｎ）を表す式を求められるか？

　４ｋ＋３の形の整数は２つの平方数の和として表せない，８ｋ＋７の形整数は２つの平方数の和として表せない，しかしながら，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

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　σ1（ｎ）をｎの約数全部の和とすると，ｎが４で割り切れないとき

　　ｓ1（ｎ）＝σ1（ｎ）

ｎが４で割り切れるとき

　　ｓ1（ｎ）＝σ1（ｎ）−４σ1（ｎ／４）

となる．

　ここで，４で割り切れないｎの約数の和をｓ1（ｎ）と書くことにすると，

　　ｒ4（ｎ）＝８ｓ1（ｎ）

が成り立つ．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^4＝Σｒ4（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

　ここで，アイゼンシュタイン級数をかなり巧妙に変形した関数

　　Ｅ2（τ）＝ΣΣ１／（ｍτ／２＋ｎ）^2−ΣΣ１／（ｍτ＋ｎ／２）^2

を導入すると，

　　θ（τ）^4＝−π^-2Ｅ2（τ）＝１＋８Σｓ1（ｋ）ｑ^k

を示すことができる．

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【３】八平方和問題

　これらの出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

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　８個の平方の和に分解する仕方の数をｒ8（ｎ），σ3（ｎ）をｎの約数の３乗和とすると，ｎが偶数のとき，

　　ｓ3（ｎ）＝σ3（ｎ）

ｎが奇数のとき，

　　ｓ3（ｎ）＝σ3e（ｎ）−σ3o（ｎ）

　　　 　　　＝ｎの偶数の約数の３乗和−ｎの奇数の約数の３乗和

と書くことにすると，

　　ｒ8（ｎ）＝１６ｓ3（ｎ）

が成り立つ．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^8＝Σｒ8（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

ここで，アイゼンシュタイン級数の類似物

　　Ｅ4（τ）＝Σ１／（ｎ＋ｍτ）^4

ここで和は反対の偶奇性をもつ整数ｎ，ｍ

全体にわたってとるものとすると，

　　θ（τ）^8＝４８π^-4Ｅ4（τ）＝１＋１６Σｓ3（ｋ）ｑ^k

を示すことができる．

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［補］母関数

　ｎの約数の個数をｄ（ｎ），ｎの約数のｍ乗和をσm（ｎ）で表す．それぞれの母関数は

　　Σｄ（ｎ）ｚ^n＝Σｚ^n／（１−ｚ^n）

　　Σσm（ｎ）ｚ^n＝Σｎ^mｚ^n／（１−ｚ^n）

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