長方形をいろいろな大きさの正方形に分割するのと同様に、整数を平方和に分割してみる。

ときに仰天させられる結果に出会うことがある．今回のコラムでは，正の整数ｎを２つの整数の平方和で表す方法：ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2が平均してπ通りあることを紹介する．

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【１】ラグランジュの定理（４平方和定理）

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，順列，符号，０を含む４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．すなわち，４で割り切れないｎの約数の８倍です．

　　Ｒ（４）＝８（１＋２）＝２４

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

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【２】２平方和定理と３平方和定理

　どの場合に２つで済むのか，３つで済むのか？という問題は，ラグランジュの定理に先行するフェルマー・オイラーの定理，オイラー・ルジャンドルの定理で解決されています．

［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　幾何学的な解釈を与えると半径√ｐの円上には８個の格子点が存在するのです．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

　それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

　すなわち，

　　ｐ＝１　　　（ｍｏｄ３）

　　ｑ＝−１　　（ｍｏｄ３）

　　ｍ＝２^aΠｐ^bΠｑ^c

において，すべてのｃが偶数のとき，ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2に対する解は存在するのです．

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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない．」

　４の非負のベキをかけたときの自然数ｍ≠４^k（８ｎ＋７）はｍが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．すなわち，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｎ＋７）

のときに限って整数解をもちます．

　このことは、平均して全整数の

　　１／８＋１／４・８＋１／１６・８＋・・・＝１／６

は三平方和で表すことができないことを意味しています．

ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．　

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【３】ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

　和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．

　　２＝（±１）^2＋（±１）^2

しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は

　　５＝（±２）^2＋（±１）^2

　　５＝（±１）^2＋（±２）^2

と書けるから８通りに表せる．そこで

［Ｑ］正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法は，平均して何通りあるか？

［Ａ］たとえば，１，２，・・・，１０の表し方の個数はそれぞれ，４，４，０，４，８，０，０，４，４，８だから，平均は３．６である．１２８までのとき，平均は３．１５６２５となるそうだ．

　平均してπ通りあるのだが，共通点がなにもないようなこんな意外なところになぜπが出てくるのだろうか？

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