実数Ｒと複素数Ｃ上の単純リー群は，

［１］Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn（ユニタリ，直交，シンプレクティック群よりなる無限族）

［２］Ｇ2，Ｆ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8（５個の例外群，８元数上の幾何学に対応）

に分類される．

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【１】フロイデンタールのMagic Square

　１９５０年代に，フロイデンタールは４つの特異な幾何がすべて，Ｒ，Ｃ，Ｈ，Ｏ上で定義されることを発見した．

　それは，楕円的平面上の幾何，射影的平面上の幾何，シンプレクティック幾何，メタシンプレクティック幾何の４つの幾何である．

　４つの環Ｒ，Ｃ，Ｈ，Ｏ上の４つの幾何の自己同型写像は，以下のMagic Squareをなす．

　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ｃ　　　　　　Ｈ　　　Ｏ

楕円的平面上の幾何　　　　　　　Ｂ1 　　Ａ2 　　　　　Ｃ3 　　Ｆ4

射影的平面上の幾何　　　　　　　Ａ2 　　Ａ2 ＋Ａ2 　　Ａ5 　　Ｅ6

シンプレクティック幾何　　　　　Ｃ3 　　Ａ5 　　　　　Ｄ6 　　Ｅ7

メタシンプレクティック幾何　　　Ｆ4 　　Ｅ6 　　　　　Ｅ7 　　Ｅ8

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