リー型の単純群はＡ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，さらにまた１６種類に細分することができる．

　ドイツのキリングとフランスのカルタンのよる単純リー群（詳しくは複素コンパクト型単純リー群，古典線形群はみな含まれる）の分類の成功が大きな影響を与えた．既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれる．

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　単純リー群には９つの型がある．それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しているのである．

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　４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列，素数位数の巡回群と交代群も含めて総計１８系列に細分される．

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