たとえば，θ＝√－５は，ＰＩＤではありません．

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［１］ｘ^2＋１はガウス整数ａ＋ｂｉを生成

［２］ｘ^3－１はアイゼンシュタイン整数ａ＋ｂωを生成

［３］ｘ^2＋５は整数ａ＋ｂ√－５を生成する．

　ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2の場合は微妙だが，決定的な違いがある．

　　６＝２・３＝（１＋√－５）（１－√－５）

が成り立つが，２，３，（１＋√－５），（１－√－５）は単数でないＺ（√－５）の元の積で表すことはできないのである．

　　６＝２・３＝（１＋√－５）（１－√－５）

　　２１＝３・７＝（１＋２√－５）（１－２√－５）

　Ｑ（√－５）の類数は２．ｄ＝５はＱ（√－ｄ）の類数が２である最小のｄ．

　ユークリッドのアルゴリズムがうまくいくのは，一意分解が存在するのであるがＱ（√－５）の場合，それが存在しないのである．

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