ヴィエトの公式

　２／π＝√２／２・√（２＋√２）／２・√（２＋√（２＋√２）／２・・・

は

　√（２＋√（２＋√（２＋・・・）））＝２

であることを示している．

　今回のコラムでは

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

の別証を与えてみたい．

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【１】別証

　倍角の公式

　　ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ^2α−１

は

　　２ｃｏｓα＝√（２＋２ｃｏｓ２α）

と書き換えることができる．

　たとえば，α＝π／３２とおくと

　　２ｃｏｓπ／３２α＝√（２＋２ｃｏｓπ／１６）

　＝√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／８））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／４）））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））

　α＝π／２^nとして，ｎ→∞とすると，

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

が得られる．

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　ヴィエタの無限積は

　　２／π＝√２／２・√（２＋√２）／２・√（２＋√（２＋√２））／２・√（２＋√（２＋√（２＋√２）））／２・・・

これはオイラーが見つけた無限積の公式

sinx/x=cos(x/2)cos(x/4)cos(x/8)・・・

にx=π/2を代入することで簡単に証明できる。

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