［１］オイラーは無限級数

　　１＋１／４＋１／９＋１／１６＋１／２５＋・・・

を研究した．この級数の和の近似値は１．６４４９３４を得たのであるが，それをπ^2／６＝１．６４４９３４０６・・・と推測した．

　７桁の数１．６４４９３４が偶然にπ^2／６と一致する確率は１０^-7に過ぎないのである．これで自信を得たオイラーはこの級数のいくつかの変換から証明に至ったのである．

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［１］ｎ次方程式ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n＝０がｎ根

　　α1，α2，α3，・・・，αn

をもつならば

　　ａn（ｘ−α1）（ｘ−α2）・・・（ｘ−αn）＝０

　　ａn-1＝−ａn（α1＋α2＋α3＋・・・＋αn）

と表すことができる．

［２］同様にａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n＝

　　ａ0（１−ｘ／α1）（１−ｘ／α2）・・・（１−ｘ／αn）＝０

　　ａ1＝−ａ0（１／α1＋１／α2＋１／α3＋・・・＋１／αn）

と表すことができる．

［３］２ｎ次方程式ｂ0−ｂ1ｘ^2＋ｂ2ｘ^4＋・・・＋（−１）^nｂnｘ^2n＝０が２ｎ根

　　±β1，±β2，±β3，・・・，±βn

をもつならば

　　ｂ0（１−ｘ^2／β1^2）（１−ｘ^2／β2^2）・・・（１−ｘ^2／βn^2）＝０

　　ｂ1＝ｂ0（１／β1^2＋１／β2^2＋１／β3^2＋・・・＋１／βn^2）

と表すことができる．

［４］ｓｉｎｘ＝０，すなわち，

　ｘ／１−ｘ^3／１・２・３＋ｘ^5／１・２・３・４・５−・・・＝０

の根はｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・

　ｓｉｎｘ／ｘ＝０，すなわち，

　１−ｘ^2／１・２・３＋ｘ^4／１・２・３・４・５−・・・＝０

の根はｘ＝±π，±２π，±３π，・・・

［５］ｓｉｎｘ／ｘ＝（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

１／１・２・３＝（１／π^2＋１／４π^2＋１／６π^2＋・・・）

［６］１／１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＝π^2／６

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