■もうひとつのバーゼル問題(その19)

 18世紀以前は具体的な数値からなる級数の値を求めることが主流だった.俺はこんな級数の値を求めたといって自慢しあう感じだったと思われる.オイラーは

  ∫(0,1)(x-1)dx/logx=log2

をたったひとりで発見した.

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[0]∫(0,1)logx/(x-1)dx=ζ(2)=π^2/6

[1]∫(0,1)(x-1)/logxdx=log2

[2]∫(0,1)(x^m-x^n)/logxdx=log((m+1)/(n+1))

[3]f(x)=Σa(k)x^k,f(1)=0とする.このとき

   ∫(0,1)f(x)/logxdx=Σa(k)log(k+1)

[4]∫(0,1)(x-1)^n/logxdx=Σ(-1)^(n-k)(n,k)log(k+1)

[5]オイラーの定数:γ=∫(0,1){1/(1-x)+1/logx}dx=Σ(-1)^nζ(n)

[6]調和数;Hn=1+1/2+・・・+1/n=∫(0,1))(1-x^n)/(1-x)dx

[7]∫(0,1))x^a-1(1-x^b)(1-x^c)/(1-x^n)logxdx=log{Γ((a+b)/n)Γ((a+c)/n)/Γ(a/n)Γ((a+b+c)/n)}

[8]∫(0,1))sin(αlogx)/logxdx=arctanα

α=1のとき,∫(0,1))sin(logx)/logxdx=π/4

[8]∫(0,1))sin(αlogx)x^(a-1)/logxdx=arctan(α/a)

α=1のとき,∫(0,1))sin(logx)/logxdx=π/4

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