１８世紀以前は具体的な数値からなる級数の値を求めることが主流だった．俺はこんな級数の値を求めたといって自慢しあう感じだったと思われる．オイラーは

　　∫(0,1)（ｘ−１）ｄｘ／ｌｏｇｘ＝ｌｏｇ２

をたったひとりで発見した．

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［０］∫(0,1)ｌｏｇｘ／（ｘ−１）ｄｘ＝ζ（２）＝π^2／６

［１］∫(0,1)（ｘ−１）／ｌｏｇｘｄｘ＝ｌｏｇ２

［２］∫(0,1)（ｘ^m−ｘ^n）／ｌｏｇｘｄｘ＝ｌｏｇ（（ｍ＋１）／（ｎ＋１））

［３］ｆ（ｘ）＝Σａ（ｋ）ｘ^k，ｆ（１）＝０とする．このとき

　　　∫(0,1)ｆ（ｘ）／ｌｏｇｘｄｘ＝Σａ（ｋ）ｌｏｇ（ｋ＋１）

［４］∫(0,1)（ｘ−１）^n／ｌｏｇｘｄｘ＝Σ（−１）^(n-k)（ｎ，ｋ）ｌｏｇ（ｋ＋１）

［５］オイラーの定数：γ＝∫(0,1)｛１／（１−ｘ）＋１／ｌｏｇｘ｝ｄｘ＝Σ（−１）^nζ（ｎ）

［６］調和数；Ｈn＝１＋１／２＋・・・＋１／ｎ＝∫(0,1)）（１−ｘ^n）／（１−ｘ）ｄｘ

［７］∫(0,1)）ｘ^a-1（１−ｘ^b）（１−ｘ^c）／（１−ｘ^n）ｌｏｇｘｄｘ＝ｌｏｇ｛Γ（（ａ＋ｂ）／ｎ）Γ（（ａ＋ｃ）／ｎ）／Γ（ａ／ｎ）Γ（（ａ＋ｂ＋ｃ）／ｎ）｝

［８］∫(0,1)）ｓｉｎ（αｌｏｇｘ）／ｌｏｇｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎα

α＝１のとき，∫(0,1)）ｓｉｎ（ｌｏｇｘ）／ｌｏｇｘｄｘ＝π／４

［８］∫(0,1)）ｓｉｎ（αｌｏｇｘ）ｘ^(a-1)／ｌｏｇｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎ（α／ａ）

α＝１のとき，∫(0,1)）ｓｉｎ（ｌｏｇｘ）／ｌｏｇｘｄｘ＝π／４

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