−ｌｏｇ（１−ｘ）／ｘ＝１＋ｘ／２＋ｘ^2／３＋ｘ^3／４＋・・・

　−∫ｌｏｇ（１−ｘ）ｄｘ／ｘ＝ｘ＋ｘ^2／２^2＋ｘ^3／３^2＋ｘ^4／４^2＋・・・

　左辺を部分積分すれば，

　　−［ｌｏｇｘｌｏｇ（１−ｘ）］−∫ｌｏｇｘｄｘ／（１−ｘ）

区間｛０，１／２）で積分すれば

−［ｌｏｇｘｌｏｇ（１−ｘ）］＝−｛ｌｏｇ（１／２）｝^2

−∫(0,1/2)ｌｏｇｘｄｘ／（１−ｘ）

＝−∫(1/2,1)ｌｏｇ（１−ｘ）ｄｘ／ｘ

＝ｘ＋ｘ^2／２^2＋ｘ^3／３^2＋ｘ^4／４^2＋・・・

＝Ｉ2−Ｉ

　これで

Ｉ＝−（ｌｏｇ２）^2＋Ｉ2−Ｉ，すなわち，

Σ１／ｋ^2２^k＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

が得られたことになる．

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