【２】ゼータ関数の特殊値

無限級数

　Σ１／ｎs ＝１／１s ＋１／２s ＋１／３s ＋１／４s ＋・・・

をｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，バーゼル問題の答えはζ（２）＝π2 ／６と表されます．それでは，オイラーはどうやってζ（ｓ）を発見したのでしょうか．

オイラーは三角関数ｓｉｎｘのテイラー展開式が

ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ3 ／３！＋ｘ5 ／５！−ｘ7 ／７！＋・・・

になることを知っていました．また，ｓｉｎｘはｘ＝ｋπ（ｋ：整数）で０になります．すなわち，方程式ｓｉｎｘ＝０にはｘ＝０，ｘ＝±π，ｘ＝±２π，・・・のように無限個の解が存在することになります．したがって，ｓｉｎｘを因数分解して無限積表示すると

ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ／ｋπ）

＝ｘ（１−ｘ2 ／π2 ）（１−ｘ2 ／２2 π2 ）（１−ｘ2 ／３2 π2 ）・・・

＝ｘΠ（１−ｘ2 ／ｋ2 π2 ）

となります．この無限積を展開して，無限次多項式の係数と比較します．たとえば，ｘ3 の係数を比較することにより

ζ（２）＝１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６

が得られます．以下，ｘ5 ，ｘ7 ，・・・の係数同士を等号で結ぶと

ζ（４）＝１／１4 ＋１／２4 ＋１／３4 ＋１／４4 ＋・・・＝π4 ／９０

ζ（６）＝１／１6 ＋１／２6 ＋１／３6 ＋１／４6 ＋・・・＝π6 ／９４５

も同様に得られます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

漸化式

ζ（２）ζ（２ｎ−２）＋ζ（４）ζ（２ｎ−４）＋・・・＋ζ（２ｎ−４）ζ（４）＋ζ（２ｎ−２）ζ（２）＝（ｎ＋１／２）ζ（２ｎ）

を使う方法も考えられます．

ζ（２）＝π^2／６を初期値として使えば，

［１］ｎ＝２

ζ（２）ζ（２）＝５／２・ζ（４）

ζ（４）＝２／５・｛ζ（２）｝^2＝１／５・π^4／３６＝π^4／９０

［２］ｎ＝３

ζ（２）ζ（４）＋ζ（４）ζ（２）＝７／２・ζ（６）

ζ（６）＝２／７・２ζ（２）ζ（４）＝４／７・π^6／５４０＝π^6／９４５

［３］ｎ＝４

ζ（２）ζ（６）＋ζ（４）ζ（４）＋ζ（６）ζ（２）＝９／２・ζ（８）

ζ（８）＝２／９・｛２ζ（２）ζ（６）＋ζ（４）ζ（４）｝＝２／９・｛π^8／２８３５＋π^8／８１００｝

＝２／９・１／８１・｛π^8／３５＋π^8／１００｝

＝２／９・１／８１・｛２０π^8／７００＋７π^8／７００｝

＝５４／９・１／８１・π^8／７００＝π^8／９４５０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝