シンク関数は

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mｘ^2m/(2m+1)!

　　　　　　　　＝１−１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 −・・・

　　　　　　　　＝１−１／６ｘ^2＋１／１２０ｘ^4−・・・

とベキ級数表示することが可能です．

　さらに，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)

　ここで，

　　sinx/x=1-1/6x2+120x4-･･･ （ベキ級数表示）

と

　　sinx/x=Π(1-x^2/k^2π^2)　　（無限積表示）

　　　　　=1-1/π^2(Σ1/k^2)x^2+･･･

の両辺を比較することにより，

　　Σ1/k^2=π^2/6，Σ1/k^4=π^4/90，･･･

が計算されます．

　Σ1/k^2はリーマンのゼータ関数ζ(2)に，Σ1/k^4はゼータ関数ζ(4)に相当します．すなわち，

　　ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，

以下，

　　ζ(6)=π^6/945，ζ(8)=π^8/9450，・・・

と続きます．そして，解析接続の後，

　　ζ(0)=-1/2，ζ(-1)=-1/12，ζ(-3)=1/120，ζ(-5)=-1/252，・・・

が得られます．

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