【１】ケルビンの14面体による空間充填

１８８７年，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は１４面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見しました（ケルビン問題の解）．このことから１４面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができます．ケルビンの１４面体は，３対の合同な四角形の面と４対の合同な６角形の面とで囲まれています．最も簡単な場合は，６個の正方形と８個の正六角形とからなり，すべての辺の長さが等しいものが切頂八面体です．切頂八面体は１３種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．

なお，空間分割では，３つの界面が交わって１つの稜線，４つの稜線が集まって１つの頂点が構成されます．その際，

　　ｖ＋ｆ＝ｅ＋２

が成り立ちます．そして分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結びますから，

　　２ｅ＝３ｖ

これを用いて整理すれば

　　ｖ＝２（ｆ−２）

　　ｅ＝３（ｆ−２）

となります．つまり，面の数ｆが与えられれば辺数ｅと頂点数ｖは一義的に決まる性質をもっており，また頂点数ｖは必ず偶数になることもわかります．

ここで，ｆ＝１４とおくと，ｖ＝２４，ｅ＝３６となります．つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではありませんが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは

　　ｐ＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・

　　ｑ＝２ｅ／ｖ＝３

を得ることができます．このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことはが示唆されます．

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[補]１４面は空間充填可能な多面体のうち最小の面数であるが，デルガド，フリードリヒス，オキーフによれば１４面の空間充填可能な多面体は２３種類ある．１５面は１３６種類，１６面は７１０種類あることが示されている．

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