【１】月のサイクル

　例えば，新月（満月）から次の新月（満月）までにかかる時間は，星に対して月が同じ位置に戻るのにかかる時間よりも約２日長い．これは朔望月（２９．５日周期）が月の位相の変化と関係しているのに対して，星に対する月の位置に関係している恒星月（２７．３日周期）が常にずれていることを意味している．

　また，恒星年（３６５．２日周期）は太陽が星のある位置から再び元の位置に戻るのに要する時間である．これらの重要な月の周期を結びつける簡単な代数式を導いてみよう．

　恒星月は背景にある星に対して，月が地球の周りを１周するのにかかる時間であるから，恒星月の周期をＴ1とすると１日で３６０°／Ｔ1動くことになる．しかし，地球が太陽の周りを回る軌道に沿って常に動いているため，月は朔月（望月）から次の朔月（望月）までの間に，３６０°よりもわずかに多く動かなければならず，朔望月の周期をＴ2とすると，余計に回る角度は３６０°／Ｔ1×（Ｔ2−Ｔ1）である．

　また，恒星年の周期をＴ0とすると地球は１日で３６０°／Ｔ0（約１°）動くことになるから，この間，地球が太陽の周りを３６０°／Ｔ0×Ｔ2回ることになる．

　簡単な幾何学的関係から両者は等しいことがわかる．

　　３６０°／Ｔ1×（Ｔ2−Ｔ1）＝３６０°／Ｔ0×Ｔ2

より

　　１／Ｔ2＝１／Ｔ1−１／Ｔ0

　したがって，月の位相で決まる朔望月の周期Ｔ2は，恒星月の周期Ｔ1よりもわずかに長いことになる．実際にＴ0＝３６５．２，Ｔ1＝２７．３，としてＴ2を求めてみると

　　Ｔ2＝Ｔ0Ｔ1／（Ｔ0−Ｔ1）＝２９．５０５７

となって，Ｔ2＝２９．５と一致する．

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【２】月の運動を記述するニュートンの法則

　前節に掲げた計算は，月の特徴的な周期を数値的に結びつける公式であるが，ニュートンが導いた関係は恒星年・恒星月のみならず，近点月・交点月の周期を結びつけるものであった．

　月は地球の周りを楕円軌道で回っているのだが，近点月は地球に最も近づく点から次に近づく点までに要する時間であり，周期はＴ3＝２７．５日である．また，地球の軌道と月の軌道を交点を考え，月が昇交点（降交点）から次の昇交点（降交点）までに動くのに要する時間Ｔ4が交点月（２７．２日周期）である．

　ニュートンは，ｍ＝Ｔ1／Ｔ0の比を使って

　　Ｔ3／Ｔ1−１＝＋３／４ｍ^2

　　Ｔ4／Ｔ1−１＝−３／４ｍ^2

としたが精度が悪く，のちにクレローとダランベールはニュートンの式に第２項以降をつけ加えて

　　Ｔ3／Ｔ1−１＝＋３／４ｍ^2＋２５５／３２ｍ^3＋・・・

　　Ｔ4／Ｔ1−１＝−３／４ｍ^2＋９／３２ｍ^3＋・・・

と修正した．

　しかし，月に働く太陽の引力によって交点を結ぶ線と長軸線は長年かけてゆっくり移動していく．交点を結ぶ線は西向きに１８．６１年，長軸線は東向きに８．８５年かかって１周するのでさらに複雑になってしまうのである．

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