1786年、ガウスはフェルマーの主張の一つ

　　ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２

すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」を証明した。

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ルジャンドルの定理によると８ｎ+３型整数は3つの平方数の和としてあらわされる。その３つの平方数はすべて奇数でなければならない。

ガウスの発見は８ｎ+３型整数を3つの奇数の平方の和として表すことを意味している。

8n+3=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2

8n+3=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1

8n=4(a^2+a)+4(b^2+b)+4(c^2+c)

n=a(a+1)/2b(b+1)/2+c(c+1)/2

このようにルジャンドルの定理から容易に導かれる。

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