ブラーマグプタの公式を証明しておきたい．

　四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

となる．

　この定理でｄ→０とすると，三角形のヘロンの公式

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

が得られる．

　また，四角形が円に内接するとき，β＋δ＝π，ｃｏｓ（β＋δ）＝−１より，面積は最大となり

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

が成り立つ．

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　余談ですが，和算の開祖関孝和が連立方程式の消去法（今日の終結式に相当）を発見したのは和算の基礎を築いた偉業ですが，当人はしばしばそれを自慢（？）にして，もっと簡単にできる問題もことさら消去法を使って大変高次の複雑な方程式にしてしまった（？）と考えられる場面があるとのことです．

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