［Ｑ１］円に内接する三角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　正弦定理より，

　　２Ｒ＝ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ

余弦定理より，

　　ｃｏｓα＝（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）／２ｂｃ

であるから

　　ｓｉｎα＝｛１−（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）^2／４ｂ^2ｃ^2｝^1/2

＝｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2／２ｂｃ

を代入して整理すると，ａ，ｂ，ｃについて対称な形の式が得られる．

　　２Ｒ＝２ａｂｃ／｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ２］円に内接する四角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　対角線の長さをｅ，ｆとすると

　　２Ｒ＝２ａｂｅ／｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｅ^4）｝^1/2・・・［１］

　　２Ｒ＝２ｃｄｅ／｛２（ｃ^2ｄ^2＋ｄ^2ｅ^2＋ｅ^2ｃ^2）−（ｃ^4＋ｄ^4＋ｅ^4）｝^1/2・・・［２］

　　２Ｒ＝２ｆｂｃ／｛２（ｆ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ｆ^2）−（ｆ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2・・・［３］

　　２Ｒ＝２ｆａｄ／｛２（ｆ^2ａ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｄ^2ｆ^2）−（ｆ^4＋ａ^4＋ｄ^4）｝^1/2・・・［４］

　この問題ではトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

　　　　　ａｃ＋ｂｄ＝ｅｆ

を活用できる．

　［１］−［４］からｅ，ｆを消去したいのであるが，結構骨が折れそうである．次回の宿題としたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝