［Ｑ］円に内接する五角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　もちろん，辺は等辺ではない一般の五角形を扱う．この問題は直径の１４次方程式になるという．ステップアップしながら考えてみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ１］円に内接する三角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

［Ｑ２］円に内接する四角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　この問題ではトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用できる．

［Ｑ３］円に内接する五角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　ｘ＝直径^2についての７次方程式になり，言葉が一切はいらない数式が３０ページ以上にもおよび，可能な水準を超える計算がはいり込んでくる．次元が高くなるにしたがって，式を記述する長さは爆発的に増える．そして式を全部書き下ろすことのできるのはせいぜい四角形程度までなのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についても，ヘロンの公式はあるのだろうか？

［Ａ］存在しないことの証明が

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

に掲載されている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝