１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（証）中心での角度をα，β，γとし，余弦定理を用いると

　　ｄ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃｃｏｓα

　　ｄ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａｃｏｓβ

　　ｄ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓγ

　また，α＋β＋γ＝２πより，

　　ｃｏｓ^2α＋ｃｏｓ^2β＋ｃｏｓ^2γ＝１＋２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ

続きは骨の折れる計算であるが，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝