１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

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　この式はａ，ｂ，ｃについて対称なのは当然であるが，ｄに関しても対称になっている．したがって，これらの図が互いに結びついて多くの対称性をもつ大きな図を構成することだでき，最終的には３辺の長さがａ，ｂ，ｃの三角形の外側に１辺の長さがａの正三角形，ｂの正三角形，ｃの正三角形を描いた図が得られる．

　するとＡＡ’，ＢＢ’，ＣＣ’を結んだ３直線は６０°で交わり，どれも同じ長さになる．この交点がフェルマー点である．

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　　ａ＋ｂ＋ｃを最小とする点がフェルマー点であるが，正三角形の場合はｘａ＝ｂ＝ｃであるから，ａが最小値をとればよい．

　　３（３ａ^4＋ｄ^4）＝（３ａ^2＋ｄ^2）^2＝９ａ^4＋６ａ^2ｄ^2＋ｄ^4

　　６ａ^2ｄ^2＝２ｄ^4→ａ＝ｄ／√３

すなわち，フェルマー点は重心と一致する．

　　ａ＋ｂ＋ｃ＝３ａ＝ｄ√３

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