■四色問題（その２２）
球を六角形でタイル貼りすることができないこと以上に驚くべきことがある．もし球を５角形と六角形からなる地図で敷き詰めたならば，サッカーボールのようにちょうど１２個の５角形がなければならないというものである．
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（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．
（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，
Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・
２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・
６Ｆ−２Ｅ≧１２
に代入すると
３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２
地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は
４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２
となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．
このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．
ここで，
(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．
(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）
(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）
(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）
(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）
すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．ｎ＝３，４，５のとき，
ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２
であるが，これは正多面体の面数と同じである．これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしている．
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［補］もし五角形ｘ枚と六角形ｙ枚の２種類の面のみをもつ頂点の次数が３の凸多面体に限定して考えるならば
面：ｘ＋ｙ
辺：（５ｘ＋６ｙ）／２
頂点：（５ｘ＋６ｙ）／３
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）に代入すると，ｘ／６＝２よりｘ＝１２となる．
［補］もしｍ角形ｘ枚とｎ角形ｙ枚の２種類の面のみをもつ頂点の次数がｋで等しい頂点数２４の準正多面体に限定して考えるならば
面：ｘ＋ｙ
辺：（ｍｘ＋ｎｙ）／２
頂点：（ｍｘ＋ｎｙ）／ｋ＝２４
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）に代入すると，ｘ＋ｙ＝１２ｋ−２２となる．
ｋ＝３ → 切頂立方体，切頂八面体，正１２角柱
ｋ＝４ → 小菱形立方八面体，ミラーの立体，正１２反角柱
ｋ＝５ → ねじれ立方体
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【４】彩色数とヒーウッドの公式
Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］
と同値な
Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］
を紹介します．オイラー標数χの閉曲面（向きづけられるか否かは不問）上の地図は，辺で境される国を別の色で塗るという条件下において，ヒーウッドの数
Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］
色あれば塗り分けられるというものです（十分条件）．（［・］は切り捨て）．
実際の彩色数に対して
Ｎ（Ｓ）＝４，Ｎ（Ｐ）＝６，Ｎ（Ｔ）＝７，Ｎ（Ｋ）＝６
ヒーウッド数は
Ｈ（Ｓ）＝４，Ｈ（Ｐ）＝６，Ｈ（Ｔ）＝７，Ｈ（Ｋ）＝７
なので，クラインの壷では一致しません．しかし，クラインの壷以外のすべての向き付け可能・不可能な曲面に対して，彩色数はヒーウッドの公式で与えられます．たとえば，
χ（３Ｐ）＝−１ → Ｈ（３Ｐ）＝７
χ（２Ｔ／４Ｐ）＝−２ → Ｈ（２Ｔ／４Ｐ）＝８
χ（５Ｐ）＝−３ → Ｈ（５Ｐ）＝９
χ（３Ｔ／６Ｐ）＝−４ → Ｈ（３Ｔ／６Ｐ）＝９
χ（７Ｐ）＝−５ → Ｈ（７Ｐ）＝１０
［注１］この公式は本来χ＜０の場合にのみ有効である．ただし結果的にχ＝１（射影平面）とχ＝０で向きづけられる曲面（輪環面）では必要十分な正しい値（それぞれ６と７）を与える．χ＝２（球面）のときには４を与えるが，これは「偶然の一致」であって四色問題の解ではない（∵上の公式を導くときχ＜０という条件を本質的に使っている）．
［注２］これは十分条件であって，必要条件（どうしてもそれだけの色がいる）ではない．結果的にはχ＝０で向きづけられない曲面（クラインの壷）以外の曲面ではすべて正しく必要十分な色数を与えている．クラインの壷は唯一の例外で公式の値は７だが，実は６色で必要十分である．必要性は部分的（χの特別な値の例）には１９世紀末から知られていたが，最終的にはヤングスとリンゲルとが共同研究して１９６８年に完全に証明された．
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