１^2＋１^2＝１^2＋１

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

　　ｔn+1＋√２ｕn+1＝（１＋√２）（ｔn＋√２ｕn）

　　　　　　　　　　＝（ｔn＋２ｕn）＋√２（ｔn＋ｕn）

より

　　ｔn+1＝ｔn＋２ｕn

　　ｕn+1＝ｔn＋ｕn

　　ｃn ＝［ｔn，ｕn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［１，２］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［１，１］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝２ｃn+1＋ｃn

　ところで，ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

　また，連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

　　ｔn ＝１／２（γ^n＋δ^n）

　　ｕn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

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［まとめ］

　　２ｎ＋１＝ｐ

　　ｎ＝１／４（α^n＋β^n）−１

となった．

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