ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4は整数解をもたない

ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2は整数解をもたない

ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2+１は整数解をもつだろうか？

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【２】指数４の場合

フェルマーの問題は，ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式と呼ばれ，無数の解をもち，しかもすべての解をもれなく求めることのできる公式も知られています．ｎ＝４の場合は，フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました．

［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2−ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘ，ｙのいずれかは偶数でなければならない．ｘがそうだとすれば

　　（ｘ／２）^2＝（ｚ＋ｘ）／２・（ｚ−ｘ）／２

しかも（（ｚ＋ｘ）／２，（ｚ−ｘ）／２）＝１．ゆえに，

　　ｘ／２＝ｕｖ，（ｚ＋ｘ）／２＝ｕ^2，（ｚ−ｘ）／２＝ｖ^2

となる整数ｕ，ｖが存在する．

　すべてのピタゴラス数が，

　　ｘ＝２ｕｖ，ｙ＝ｕ^2−ｖ^2，ｚ＝ｕ^2＋ｖ^2

のように表されることは，ｘ^2＋ｙ^2＝１上のすべての有理点が

　　（２ｔ／（１＋ｔ^2），（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2））

であることによっている．

［Ｑ］不定方程式：ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4は整数解をもたないことを証明せよ．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘを偶数として

　　ｘ^2＝２ｕｖ，ｙ^2＝ｕ^2−ｖ^2，（ｕ，ｖ）＝１

と書ける．もしｕが偶数なら，ｙ^2＝４Ｎ＋１，ｕ^2＝４Ｎ1＋１，ｖ^2＝４Ｎ2，４Ｎ＋１＝４Ｎ1−４Ｎ2−２となって矛盾が起こるから，ｖは偶数である．

　ゆえに，ｕ＝ｚ1^2，ｖ＝２ｗ^2，ｙ^2＋４ｗ^4＝ｚ1^4，２ｗ^2＝２ｕ1ｖ1，ｕ1＝ｘ1^2，ｖ1＝ｙ1^2，ｘ1^4＋ｙ1^4＝ｚ1^2となるが，ｚ1＜ｚだからこれは不可能（ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2が整数解をもたないことから，当然ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4も整数解をもたない）．

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