３次方程式ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ+ｄ＝０の解の公式

x=-b/3a+{-b^3/27a^3+bc/6a^2-d/2a+{(b^3/27a^3-bc/6a^2+d/2a)^2+(-b^2/9a^2+ac/3a^2)^3}^1/2}^1/3

+{-b^3/27a^3+bc/6a^2-d/2a-{(b^3/27a^3-bc/6a^2+d/2a)^2+(-b^2/9a^2+ac/3a^2)^3}^1/2}^1/3

（同じように複雑な式がもう２個あるが省略）

　３次方程式ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝０の解

　　ｘ＝（−ｂ／２＋√（ｂ^2／４＋ａ^3／２７））^1/3＋（−ｂ／２−√（ｂ^2／４＋ａ^3／２７）^1/3

を書きだすのが「カルダノの公式」である．

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【１】ｘ＝（√（２８／２７）＋１）^1/3−（√（２８／２７）−１）^1/3は整数である

　ｘ^3を計算するとｘ^3＝２−ｘが成り立つことより，ｘ＝１はひとつの実数解となる．（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋２）＝０において，ｘ^2＋ｘ＋２＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝１でなければならない．

　カルダノの公式においてａ＝１，ｂ＝−２の場合に相当している．

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【２】ｘ＝（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3は整数である

　ｘ^3−１５ｘ−４＝０に，ａ＝−１５，ｂ＝−４としてカルダノの公式をあてはめてみた結果である．

　　２＋√（−１２１）＝（２＋√（−１））^3

　　２−√（−１２１）＝（２−√（−１））^3

　　（２＋√（−１２１））^1/3＋（２−√（−１２１）^1/3＝４

と書き換えることができる．

　　ｘ^3−１５ｘ−４＝（ｘ−４）（ｘ^2＋４ｘ＋１）＝０

において，ｘ^2＋４ｘ＋１＝０は２つの虚数解をもつので，ｘ＝４でなければならない．

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