【７】補遺

　本コラムでは２次体

　　［Ｑ（√ｄ）：Ｑ］＝２

についてだけ説明して，円分体のことは意識的に避けてきましたが，ここで円分体についても一言解説したいと思います．

　任意の素数ｐに対して，Ｚ／ｐＺはｐ個の元からなる有限体Ｆpで，Ｆp−｛０｝は原始根を生成元とする巡回群になります．Ｆpはｐ個の元からなる有限体で，Ｆp~は原始根を生成元とする巡回群になります．しかし，このような性質をもつ体はＦp以外にもたくさんあり，それらは代数的整数論において重要になります．

　任意の体の乗法群の有限部分群は巡回群なのですが，例として，１のｄ乗根

　　ζ＝ｅｘｐ（2πi/ｄ)

の全体は乗法に関して位数ｄの巡回群をなします．Ｑ（ζ）を円のｄ分体といいます．また，１の原始ｄ乗根はφ（ｄ）個存在して，

　　［Ｑ（ζ）：Ｑ］＝φ（ｄ）

が成り立ちます．そして，１の原始ｄ乗根を根とする多項式

　　Φ(x)＝Π（ｘ−ζ^a）　　　（ａ，ｄ）＝１

を円分多項式を呼びます．

　次に，ｐをｐ≠２なる奇素数とし，１の原始ｐ乗根として，

　　ζ＝ｅｘｐ（2πi/ｐ)

をとります．１のｐ乗根全体は

　　｛１，ζ，ζ^2，・・・，ζ^(p-1)｝

で１以外はみな原始ｐ乗根となります．したがって，ζの最小多項式は

　　Φ(x)＝１＋ｘ＋ｘ^2＋・・・＋ｘ^(p-1)＝（ｘ^p−１）／（ｘ−１）

また，判別式は

　　Ｄ＝（−１）^{(p-1)/2}ｐ^(p-2)

で与えられます．

　そして，

　　ｐ~＝（−１）^{(p-1)/2}ｐ

とおくと，

　　Ｑ（√ｐ~）

はＱ（ζ）の部分体になります．また，Ｑ（ζ）の部分体

　　Ｑ（ζ＋ζ^(-1)）

において，ζ＋ζ^(-1)は実数ですから，

　　［Ｑ（ζ）：Ｑ（ζ＋ζ^(-1)）］＝２

の最大実部分体となっています．Ｑ（ζ）はＱ（√ｐ~）とＱ（ζ＋ζ^(-1)）を部分体としてもつというわけです．

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　Ｑ（ζ）の２次の部分体Ｑ（√ｐ~）は

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}

より，

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）　→　実２次体Ｑ（√ｐ）

　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）　→　虚２次体Ｑ（√−ｐ）

となります．

　２次体の類数決定では，ルジャンドル指標を用いましたが，円分体の２次の部分体（√ｐ~）ではガウス和を用いることによって，類数の最終的なディリクレの公式に達することができます．

　位数ｎの巡回群の指標には１のｎ乗根が対応して，円分体についてのガウス和

　　τ(χ）＝Σχ(x)ζ^x

ヤコビ和

　　Ｊ(χ,φ)＝Σχ(x)φ(1-x)＝τ(χ）τ(φ)／τ(χφ)

が定義されます．

　ガウス和はガンマ関数

　　Γ(s)＝∫(0,∞)ｘ^(s-1)ｅｘｐ(-x)ｄｘ

ヤコビ和はベータ関数

　　Ｂ(p,q)＝∫(0,1)ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)ｄｘ＝Γ(p)Γ(q)／Γ(p+q)

と非常によく似ていています．

　円のｐ分体は拡大体としては巡回体に過ぎないのですが，データが多いだけ面白いことがたくさんあり，円分体の類数決定に関してもいろいろ面白い式があるようですが，それには

　　小野孝「数論序説」裳華房

を参照されることをお勧めします．

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