２次体Ｑ（√ｄ）に対して

　　Ｓ＝｛ｐ：ｐ≦Ｍ，χ（ｐ）≠−１｝

とおくと，Ｈはイデアルpと素数ｐの類によって生成されます．

　素数ｐは

　　χ（ｐ）＝０　→　ｐ＝（ｐ，ａ＋ω）^2

　　χ（ｐ）＝１　→　ｐ＝（ｐ，ａ＋ω）（ｐ，ａ−ω）

のように素因子（基底による表示）に分解されるのですが，その際，ωの最小多項式Ｐ（ｘ）をｍｏｄｐで分解することにより，ｐの２次体における分解を具体的に求めることができます．

　ｄ＝１９９の場合に，上の手続きを実行してみましょう．

　　１９９＝３（ｍｏｄ４），ω＝√１９９，Ｄ＝４・１９９

　　Ｍ＝1/2√Ｄ＝√１９９＝１４．１・・・

ですから，ｐ＝２，３，５，７，１１

　　ｐ　　　：　２　　３　　５　　７　　１１

　　χ（ｐ）：　０　　１　　１　　−１　　１

したがって，Ｓ＝｛２，３，５，１１｝

　以下には有限体上の因数分解は用いられているのですが，

　ｐ＝２：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2

　　　　→　p2＝（２，１＋ω）

　ｐ＝３：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）

　　　　→　p3＝（３，ω−１）＝（３，２＋ω），p3'＝（３，１＋ω）

　ｐ＝５：　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2＋１＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）

　　　　→　p5＝（５，３＋ω），p5'＝（５，２＋ω）

　ｐ＝１１：Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−１９９＝ｘ^2−１＝（ｘ＋１）（ｘ−１）

　　　　→　p11＝（１１，ω−１）＝（１１，１０＋ω），p11'＝（１１，１＋ω）

　これより，イデアル類群はp2,p3,p5,p11の類で生成されることがわかりました．Ｈの構造はこれらの生成元の間の関係を調べあげることによって定まります．とはいっても，肝心の所は割愛せざるを得ないのですが，このあとさらに検索を続けることによって４つの生成元p2,p3,p5,p11がすべて〜１となり，Ｑ（√１９９）の類数は１であることが確かめられます．

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