【４】類数の計算

　Ｑ（√ｄ）はイデアルの同値類を有限個しかもちません．このイデアル類の数は類数と呼ばれ，ｈ（ｄ）で表されます．類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）なのですが，ミンコフスキーの定数Ｍを具体的に決定して，いくつかの場合に類数を決定することができます．たとえば，

［Ｑ］次の４つの実２次体Ｋ＝Ｑ（２），Ｑ（３），Ｑ（５），Ｑ（１３）に対して，ｈ＝１を証明せよ．

［Ａ］　Ｍ＝1/2√Ｄ

ですから，４≦Ｄ＜１６ならばｈ＝１になります．ここで，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

ですから，ｄ＝２，３，５，１３が合格です．

［Ｑ］次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）に対して，ｈ＝１を証明せよ．

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

［Ａ］　Ｍ＝2/π√-Ｄ＝０．６３６６３√-Ｄ

です．−ｄ＝１，２，３，７のときは，

　　Ｄ＝４，８，３，７

で，Ｍ＜２となり，ｈ＝１となります．

　その他の場合はｄ＝１（ｍｏｄ４）でＤ＝ｄとなるのですが，Ｍ＝２で−ｄ＝１１，１９のときは

　　−１１＝５，−１９＝５　　（ｍｏｄ８）

より２は２次体でも素ですから，ｈ＝１となります．なお，それぞれ

　　χ（２）＝（−１）^15＝−１，χ（２）＝（−１）^45＝−１

と同値です．χは次節で述べるクロネッカーの指標を先取りしたものです．

　Ｍ＝４では

　　−４３＝５（ｍｏｄ８）　　（χ（２）＝（−１）^231と同値）

　　（−４３／３）＝（−１／３）＝−１

より，Ｑ（√−４３）は類数１をもちます．

　同様の計算から，Ｍ＝５のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−６７

　　χ（２）＝−１，

　　χ（３）＝（−６７／３）＝（−１／３）＝−１，

　　χ（５）＝（−６７／５）＝（−２／５）＝（−１／５）（２／５）＝−１

　Ｍ＝８のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−１６３

　　χ（２）＝−１，

　　χ（３）＝（−１６３／３）＝（−１／３）＝−１，

　　χ（５）＝（−１６３／５）＝（−３／５）＝（２／５）＝−１

　　χ（７）＝（−１６３／７）＝（−２／７）＝（−１／７）（２／７）＝−１

　以下，同様の論法で続けてもよいのですが，類数が１となる判別式は他には存在しません．ｈ＝１なる虚２次体Ｑ（√ｄ）はこれしかないというのが，有名な「スタークの定理」です．

　ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

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