【１】２次体と整数環（復習）

　有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に

　　Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝

の形で表されます．とくに，ｄ＝−１のとき

　　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）

はガウスの数体となります．

　次に，Ｑ（√ｄ）の整数環を考えるわけですが，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

で与えると，標準基底を｛１，ω｝とする代数的整数の集合

　　Ａ（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂは整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．

　この代数的整数の集合：Ａ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．Ａ（ω）は標準基底｛１，ω｝の２次元ベクトル空間となっているというわけです．

　単純に｛１，√ｄ｝を基底とする

　　Ｚ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは整数｝

の形を考えてもよいのでしょうが，すでに分類のための第一歩は始まっていて，それぞれの場合のの最小多項式Ｐ（ｘ）は

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2−ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋（１−ｄ）／４

で求められます．説明するまでもなく，ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，（１−ｄ）／４は整数になります．

　また，αが基底｛１，ω｝を用いてα＝ｘ＋ｙωと表されるとき，αのノルムは

　　Ｎ（α）＝ｘ^2−ｙ^2ｄ　　（ｄ＝２，３　ｍｏｄ４）

　　Ｎ（α）＝ｘ^2＋ｘｙ＋（１−ｄ）／４ｙ^2　　（ｄ＝１　ｍｏｄ４）

ですから，

　　Ｐ（ｘ）＝Ｎ（ｘ＋ω）

　　Ｎ（ω）＝−ｄ　　（ｄ＝２，３　ｍｏｄ４）

　　Ｎ（ω）＝（１−ｄ）／４　　（ｄ＝１　ｍｏｄ４）

と定義できるわけです．

　そして，判別式Ｄはトレースを用いて

　　Ｄ＝｜Ｔｒ（１），Ｔｒ（ω）　｜

　　　　｜Ｔｒ（ω），Ｔｒ（ω^2）｜

で定義され，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となります．

　代数体の判別式Ｄは基底の選び方には依存しない整数であり，代数体の大切な不変量の１つとなっているのですが，重根をもつ・もたないの判別ではなく，後述するように，素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係しているのです．

　なお，立方数でない有理数ｄに対して，Ｑ（3√ｄ）は３次体となります．その基底は

　　｛１，3√ｄ，3√ｄ^2｝

で表されます．

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