【６】類数

　２次体の理論は，ガウスによる２元２次形式

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ）

の研究から始まりました．ａ＞０，Ｄ＜０ならば，すべての実数ｘ，ｙに対して

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2

は正となります．これを正定値（positive definitive）２次形式といいます．

　ここで，Ｄ＝０または１（ｍｏｄ４）となり，

　　Ｄ＝０（ｍｏｄ４）　→　ｄ＝Ｄ／４

　　Ｄ＝１（ｍｏｄ４）　→　ｄ＝Ｄ

とおきます．

　Ｑ（√ｄ）はイデアルの同値類を有限個しかもたないのですが，イデアル類の個数をｈ＝ｈ（ｄ）と表し，Ｑ（√ｄ）の類数と呼びます．類数１をもつというのは，Ｑ（√ｄ）のすべてのイデアルが単項であること，すなわち，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることをいいます．

　別の言葉でいうと，類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）であって，たとえば，有理数体Ｑは類数１をもち，ガウスの数体Ｑ（ｉ）も類数１をもちます．類数１をもつ数体はＱと類似した数論的性質をもつのですが，大きな類数をもつ数体はＱとかなりかけ離れた性質をもっているというわけです．

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