【５】単数

［３］虚２次体

　ｄ＜０のとき，

　　ｄ＝−１　→　４個の単数

　　ｄ＝−３　→　６個の単数

でしたが，

　　ｄ≠−１，−３　→　２個の単数｛±１｝

となります．

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　Ｑ（√ｄ）の場合，

(1)ｄ＞０ならば｛±１｝

(2)ｄ＜０のとき

　a)ｄ＝−１ならば｛±１，±ｉ｝

　b)ｄ＝−３ならば｛±１，±ρ，±ρ^2｝

　c)ｄ≠−１，−３ならば｛±１｝

（証明）

(1)ｄ＞０ならばα^n＝１なるαは±１しかない．

(2)ｄ＜０のとき

　　α^2−（α＋α~）α＋αα~＝０

という関係を満足し，｜α｜＝１だから，ｘ^2＋ｂｘ＋１＝０（ｂは整数）の根

　　α＝（−ｂ＋√（ｂ^2−４））／２

になる．

　ｂ^2＝４はα＝±１を与えるからｂ^2≠４とする．また，ｂ^2−４＝ｃ^2と平方数になる場合は（ｂ＋ｃ）（ｂ−ｃ）＝４より，

　　ｂ＋ｃ＝４，ｂ−ｃ＝１

これは明らかに不可能．したがって，ｄ＜０よりｂ^2−４＜０でなければならない．

　よって，ｂ＝０またはｂ＝１またはｂ＝−１の可能性がある．

　　ｂ＝０→｛±ｉ｝

　　ｂ＝１→｛±ρ｝

　　ｂ＝−１→｛±ρ^2｝

　なお，円分体

　　Ｑ（ζ），ζ＝ｅｘｐ(2πi/d)

の単数は

　　｛±１，±ζ，±ζ^2，・・・，±ζ^(d-1)｝

の２ｄ個の元からなります．

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