【３】２次体

　以下，理解に必要な基本的事項を整理しておきます．虚２次体の類数の話にはいる前に，２次体についておさえておきましょう．

　説明するまでもないかもしれませんが，整数の比で表せない数を無理数（例：√２）と呼びます．いい換えれば，整数係数の１次式の根にはならない数が無理数なのです．無理数の中でも，整数係数多項式の根となる数が代数的数（例：3√５はｘ^3−５＝０の根）であり，それに対して，超越数とは，整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数（例：π，ｅ）のことです．代数的数の全体をＱ~と書くことにします．

　一方，αが代数的整数であるとは，整数係数のモニック多項式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａ0

に対して，ｆ（α）＝０となることです．代数的整数の全体をＺ~と書くことにします．

　また，体Ｋにｆ（ｘ）＝０の根αを添加した体をＫ（α）と書きます．複素数体Ｃは実数体Ｒにｘ^2＋１＝０の根ｉをつけ加えたＲ（ｉ）であり，Ｃの元は

　　ａ＋ｂｉ　　　（ａ，ｂは実数）

と一意に表されます．

　同様にして，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｋ（√ｄ）を考えることができます．２次体Ｋ（√ｄ）の元も一意的に

　　ａ＋ｂ√ｄ

の形で表されます．

　Ｋ＝Ｑ（有理数体）のとき，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｄ）は体になります．

　Ｑ（√ｄ）を有理数体Ｑの２次拡大体とするとき，ａ＋ｂ√ｄの共役数をａ−ｂ√ｄで表します（ｄ＜０ならば通常の複素共役である）．Ｋ＝Ｑ（√ｄ）とすると，ある整数ｍ，ｎが存在して，

　　α^2＋ｍα＋ｎ＝０

を満たすとき，αを代数的整数というわけですが，

　　α＝ａ＋ｂ√ｄ

が代数的整数であるかどうかは，αのノルムとトレースがともに整数であることが必要十分条件ですから，次のようにして判定することができます．

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）→｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは整数｝

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　→｛（ａ＋ｂ√ｄ）／２｜ａ，ｂは整数，ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）｝

　すべての代数的整数αが一意に

　　α＝ｍα1＋ｎα2

と表されるとき（すなわち，２次元ベクトル空間），｛α1，α2｝を標準基底というのですが，標準基底を｛１，ω｝とすると

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

で与えられます．

　すると，代数的整数の集合

　　Ａ（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂ，は整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．このＡ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．

　また，判別式は

　　Ｄ＝［Ｔｒ（α1^2），Ｔｒ（α1α2）］

　　　　［Ｔｒ（α1α2），Ｔｒ（α2^2）］

は基底の選び方には依存しない整数であり，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　→　Ｄ＝ｄ

となります．

　したがって，Ｄ＝０または１（ｍｏｄ４）となることがわかります．また，これより，平方因数をもたない整数ｄ（≠０，１）の集合，２次体の集合，基本判別式の集合の間には，それぞれ全単射対応があることになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝