【４】素数生成式

　オイラーは素数をかなりの確率で生成する公式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

を発見しています．この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　この事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何でしょうか．

　この点について，ｐ（ｘ）が０≦ｘ≦ｌ−２なるすべてのｘについて素数となることと虚２次体Ｑ（√ｍ）との関係が，ラビノヴィッチにより示されています．

［１］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ｌ＝−ｍ　　　　　　　　

　　ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｌ

［２］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ｌ＝（１−ｍ）／４　　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）

　　ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｌ

とおきます．

　ここで，ｍ＝−１６３＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｌ＝４１

したがって，

　　ｐ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

となります．このようにして，上の現象は虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係しているというわけです．

　同様に，１変数の２次多項式ｎ^2＋ｎ＋１７も高い確率で素数を生成しますが，ｍ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｌ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）との関係が示唆されます．

　なお，実２次体の基本単数は一意に決まるのに対して，虚２次体では単数基準自身が消えてしまいます．

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