［４］実２次体

　説明するまでもないかもしれませんが，整数の比で表せない数を無理数（例：√２）と呼びます．いい換えれば，整数係数の１次式の根にはならない数が無理数なのです．無理数の中でも，整数係数多項式の根となる数が代数的数（例：3√５はｘ^3−５＝０の根）であり，それに対して，超越数とは，整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数（例：π，ｅ）のことです．代数的数の全体をＱ~と書くことにします．

　一方，αが代数的整数であるとは，整数係数のモニック多項式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａ0

に対して，ｆ（α）＝０となることです．代数的整数の全体をＺ~と書くことにします．

　体ｋにｆ（ｘ）＝０の根αを添加した体をｋ（α）と書きます．複素数体Ｃは実数体Ｒにｘ^2＋１＝０の根ｉをつけ加えたＲ（ｉ）であり，Ｃの元は

　　ａ＋ｂｉ　　　（ａ，ｂは実数）

と一意に表されます．

　同様にして，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体ｋ（√ｄ）を考えることができます．２次体ｋ（√ｄ）の元も一意的に

　　ａ＋ｂ√ｄ

の形で表されます．

　ｋ＝Ｑのとき，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，すなわち，　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・ によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．

　Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は

　　ω＝√ｍ　　　　　　　　　ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）

　　ω＝（１＋√ｍ）／２　　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）

で与えられます．

　実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，

［１］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝ａ＋ｂ√ｍ

とすると

　　ε~＝ａ−ｂ√ｍ

　　εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１

また，

　　ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ

と書くと０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・より，ａ，ｂはペル方程式：

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±１

の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．

　すなわち，Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

［２］ｍ＝１ｍｏｄ４のとき

　基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

したがって，Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

　なお，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

にもなってしまいます．

　この解を求めるには√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

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