【３】単数

　単位元「１」の約数を単数といいます．

［１］ガウスの整数

　ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」です．すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，

　　±１，±ｉ

の４個の単数があります．

　素数は複素数体でも定義されますが，数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）

　　２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

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［２］アイゼンスタインの整数

　アイゼンスタインの整数は

　　ａ＋ｂω

と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．

　アイゼンスタインの整数には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもちます．

　ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

　−１の平方根は１の虚４乗根ですから，ガウス整数は円の４分体の中の整数環Ｚ（ｉ），アイゼンスタイン整数は円の３分体の中の整数環Ｚ（ω）と考えることができるでしょう．

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［３］フルヴィッツの整数

　ハミルトンの四元数

　　Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」は４次元単純立方格子と同一視することができます．

　ハミルトンの四元整数環は乗法の交換法則が成り立たない非可換環ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは，このコラムでもこれまで何回か説明したとおりです．

　四元整数に

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．

　なお，

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は１の原始６乗根であり，

　　ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

とおくと，

　　ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１

となります．

　単数すなわち１の約数は，

　　±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ　　　８個

　　ζ±±±±のあらゆる符号の組合せをとった１６個

の計２４個あります．

　この２４個は４次元空間で正２４胞体をなしています．正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのです．

　この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．それに対して，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．

　２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

　なお，正２４胞体による空間充填は４次元独特の充填形です．正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，正２４胞体による４次元空間充填形は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているのですが，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

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