ここでは（ｐ，２ｐ＋１，４ｐ−１，６ｐ−１，８ｐ＋１）がいずれも素数となるｐを超ソフィー・ジェルマン素数と呼ぶことにする．

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　Ａ（ｐ）＝（２ｐ＋１，４ｐ−１，６ｐ−１，８ｐ＋１）とすると

　Ａ（２）＝（５，７，１１，１７）・・・すべて素数

　Ａ（３）＝（７，１１，１７，２５）・・・合成数が含まれる

　Ａ（５）＝（１１，１９，２９，４１）・・・すべて素数

　Ａ（７）＝（１５，２７，４１，５７）・・・合成数が含まれる

　ｐ＝２，５は超ソフィー・ジェルマン素数であるが，ｐ＞５のとき，Ａ（ｐ）には必ず合成数が含まれることを示したい．

［１］ｐ＝５ｋ＋１のとき

　　２ｐ＋１＝１０ｋ＋３（？）

　　４ｐ−１＝２０ｋ＋３（？）

　　６ｐ−１＝３０ｋ＋５（合成数）

　　８ｐ＋１＝４０ｋ＋９（？）

［２］ｐ＝５ｋ＋２のとき

　　２ｐ＋１＝１０ｋ＋５（合成数）

　　４ｐ−１＝２０ｋ＋７（？）

　　６ｐ−１＝３０ｋ＋１１（？）

　　８ｐ＋１＝４０ｋ＋１７（？）

［３］ｐ＝５ｋ＋３のとき

　　２ｐ＋１＝１０ｋ＋７（？）

　　４ｐ−１＝２０ｋ＋１１（？）

　　６ｐ−１＝３０ｋ＋１７（？）

　　８ｐ＋１＝４０ｋ＋２５（合成数）

［４］ｐ＝５ｋ＋４のとき

　　２ｐ＋１＝１０ｋ＋９（？）

　　４ｐ−１＝２０ｋ＋１５（合成数）

　　６ｐ−１＝３０ｋ＋２３（？）

　　８ｐ＋１＝４０ｋ＋３３（？）

　したがって，この条件を満たすのはｐ＝２，５のみである．

［参］河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

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