x^3+px+q=0の3解をa,b,cとします。

a+b+c=0、ab+bc+ca=p,abc=-q

D=-4p^3-27q^2,

Δ=(a-b)(a-c)(b-c)=+/-(D)^1/2となることが確かめられる。

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実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

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解の公式はx={(-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^1/2}^1/3+{(-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^1/2}^1/3/2

と

a=((a+b+c)+(a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3

b=((a+b+c)+ω^2(a+ωb+ω^2c)+ω(a+ω^2b+ωc))/3

c=((a+b+c)+ω(a+ωb+ω^2c)+ω^2(a+ω^2b+ωc))/3

の関係は如何に？

a+b+c=0より,

a=((a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3

(a+ωb+ω^2c)^2と(a+ω^2b+ωc)^2はabcの巡回置換で変化する

(a+ωb+ω^2c)^2→ω(a+ωb+ω^2c)^2

(a+ω^2b+ωc)^2→ω^2(a+ω^2b+ωc)^2

(a+ωb+ω^2c)^3と(a+ω^2b+ωc)^3はbcの巡回置換でもう一方の式へと変化する

(a+ωb+ω^2c)^3→(a+ω^2b+ωc)^3

(a+ω^2b+ωc)^3→(a+ωb+ω^2c)^3

このことから

(a+ωb+ω^2c)^3と(a+ω^2b+ωc)^3は方程式の係数と差積Δの四則演算で計算される

(a+ωb+ω^2c)と(a+ω^2b+ωc)は方程式の係数と差積Δの四則演算で計算される数の3乗根

また、差積は判別式の平方根

判別式Ｄはa,b,cの対称式

a=((a+b+c)+(a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3は方程式の係数の四則演算で表すことができる

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4次の場合も5次の場合も

a=((a+b+c)+(a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3

にあたる式を作ることができるが、問題は

(a+ωb+ω^2c)^3と(a+ω^2b+ωc)^3にあたる式の次数がどんどん上がってしまい、この方向での議論が困難になってしまうことであった。

結局、ルフィニやアーベルによって、差積をとった後に作る根がどのように作っても駄目なことが証明されるのである。

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