【３】ガロアと群

　１８２４年，アーベルは一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことを証明しましたが，まだ核心部分（ガロア理論）には到達しておりませんでした．

　ｎ次方程式の根の置換を考えると，それはｎ次対称群Ｓnの対称性を有しているのですが，ガロア理論によると，ｎ次方程式を解くということはＳnのなかに不変部分群（正規部分群）を見つけることに対応しています．

　正規部分群をもたない群は単純群と呼ばれるわけですから，単純群であるかどうかが方程式が可解か可解でないかを決定することになります．実際にはＡ5が最小の非可換な単純群であり，Ｓ5＞Ａ5ですから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．

　あらすじはこのとおりですが，この点のガロアの洞察はガロアがアーベルを超えたところといえるわけです．少し詳細に見ていくことにしましょう．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　３文字１，２，３の置換全体のなす群が３次対称群Ｓ3で，その位数は３！＝６です．幾何学的にイメージするために１つの正三角形を考えてみましょう．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をａとすると，ａは３回やると元に戻るので

　　ａ^3＝１

また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をｂとすると

　　ｂ^2＝１

２種類の作用の相互関係は

　　ａｂ＝ｂａ^2

と書けます．

　Ｓ3は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される

　　｛１，ａ，ａ^2，ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝

となるのですが，これは位数６の正２面体群，すなわち，位数３の巡回群｛１，ａ，ａ^2｝とその裏返し｛ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝とからなる（回転∪鏡映）群と同一です．

　６×６の群表（ケイリー表）を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔方陣のようであることが理解されるでしょう．

　　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

１　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

ａ　　　　ａ　　　　ａ^2　　　１　　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂ

ａ^2　　　ａ^2　　　１　　　　ａ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ

ｂ　　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

ｂａ　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ａ^2　　　１　　　　ａ

ｂａ^2　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂａ　　　ａ　　　　ａ^2　　　１

　「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができます．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来しているのですが，２つの生成元ａ，ｂが

　　ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１

という関係を満たすことを確かめられたい．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　Ｓ2が可換群，巡回群であるのに対して，Ｓ3は回転と互換（鏡映）を合成するとき，その順序によって結果が変わるので非可換です．互換は奇置換なのですが，回転は常に偶置換となっているため，回転だけを取り出せば可換群，巡回群となります．

　Ｓ3から偶置換だけを抽出したものが３次交代群Ａ3です．すなわち，Ａ3は回転だけからなり互換は含まないので可換群というわけです．幾何学的には正三角形の回転（巡回群Ｃ3）と同一です．

　　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

１　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

ａ　　　　ａ　　　　ａ^2　　　１

ａ^2　　　ａ^2　　　１　　　　ａ

　このＡ3はＳ3の不変部分群（正規部分群）になっていて，Ｓ3がＡ3を不変部分群として含む，また，Ａ3は恒等置換だけを含んでいる，そしてこの相互関係を記号化すると

　　Ｓ3＞Ａ3＞Ｉd（恒等置換）

となります．３次方程式を解くということはＳ3のなかに不変部分群Ａ3を見つけることに対応していて，この関係よりＳ3は可解群であることがわかるというわけです．

　Ｓ3（＝Ｄ3）は主対角線に関して非対称ですから，交換法則が成り立たない非可換群で，Ｓ3は位数が最小の非可換群として重要な存在となっています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４です．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１

となります．

　Ｓ4の場合，正方形ではなく正四面体を幾何学的にイメージすることになるのですが，互換は正四面体の回転として捉えることはできず，鏡映変換を必要とします．

　Ｓ3同様，Ｓ4は回転と互換の両方を含んでいるのですが，互換を含めて空間的な回転だけでＳ4を表現するには，立方体の４本の対角線あるいは正八面体の向かい合う面の中心を結ぶ４本の線分を使うことになります．

　Ｓ4は立方体あるいは正八面体の回転対称性であり，Ｓ4の偶置換からなる部分群Ａ4は正四面体の回転対称性を表すのですが，４次交代群Ａ4のの基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

となります．しかし，Ｓ4の位数は４！＝２４，群表は２４×２４，Ａ4の位数は４！／２＝１２，群表は１２×１２になるので，大きすぎてここでは紹介できません．

　Ｓ4もＡ4も非可換なのですが，Ａ4のなかに可換な部分群Ｖ（位数４）が含まれています．Ｖは可換群ではあるが巡回群Ｃ4ではありません．実はＤ2＝Ｃ2×Ｃ2なのですが，これについては後述することにします．ともあれ，可解鎖

　　Ｓ4＞Ａ4＞｛Ｉd，Ｖ｝＞｛Ｉd｝

よりＳ4は可解群であることがわかります．このように可換な不変部分群を見つけることで，４次方程式を３次方程式に還元することが可能になるのです．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　Ｓ5の位数は５！＝１２０，群表は１２０×１２０，Ａ5の位数は５！／２＝６０，群表は６０×６０となります．どの正多面体もＳ5の回転対称性をもってはいないのですが，Ａ5は正１２面体あるいは正２０面体の回転対称性を表現しています．５次交代群Ａ5の基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^5＝（ａｂ）^2＝１

となります．

　Ａ5も非可換で，恒等置換以外には不変部分群をもっていません．

　　Ｓ5＞Ａ5＞｛Ｉd｝

不変部分群をもたない群は単純群と呼ばれるのですが，Ａ5は最小の非可換な単純群です（ガロアの定理）．ベキ根による可解性を決定づけるものは可換性なのであって，任意の可換群は可解群です（逆は成立しない）．

　このことから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．なお，Ｓ5の回転対称性をもつ正多面体が存在しないことと５次方程式の非可解性の間には因果関係は存在しないので誤解なさらないように！

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝