【１】５次方程式への挑戦

　５次方程式：

　　ａｘ^5＋ｂｘ^4＋ｃｘ^3＋ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆ＝０

の代数的解法，すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√，3√，4√，・・・によって解を求めるという問題は，いまからほとんど４世紀も昔の問題です．

　一般に，ｎ次方程式：

　　ａnｘ^n＋ａn-1ｘ^(n-1)＋・・・＋ ａ1ｘ＋ａ0＝０

に対してｘ’＝ｘ＋ａn-1 ／ｎａn と変換（カルダノ変換）するとｘ^(n-1)の項が０である方程式に還元できます．３次方程式では２次の項，４次方程式では３次の項を欠いた方程式に変形しましたが，ではもっと低次の項の係数を０にできないか？と考えるのは自然な発想でしょう．

　カルダノ・オイラー・フェラーリ・デカルトの解法は，いずれもカルダノ変換から説明される方法ですが，チルンハウスとその弟子たちは，

　　ｘ^5＋ａ1ｘ^4＋ａ2ｘ^3＋ａ3ｘ^2＋ａ4ｘ＋ａ5＝０

に対して

　　ｙ＝ｘ^4＋ｂ1ｘ^3＋ｂ2ｘ^2＋ｂ3ｘ＋ｂ4

という変換を行い，うまくｂ1，・・・，ｂ4を選ぶ方法を考えました（チルンハウス変換：１６８３年）．

　そうすることによって，４次の項と３次の項のない５次方程式が得られたのですが，さらに１８４３年にジラールは２次の項も消去できることを示しました．つまり，一般の５次方程式を

　　ｘ^5＋ｐｘ＋ｑ＝０

まで還元できることが判ったわけです（実際にこの作業を行うのは容易ではなく，コンピュータなしでは絶望的です）．

　この形は根と係数の関係を発見したジラールにちなんでジラールの標準形と呼ばれているのですが，ここでｐ＝０ならば−ｑの５乗根としてｘは求まります（ｑ＝０ならば４次方程式に帰着できます）．しかし，さらにｐ＝０にしようとすると，６次方程式を解く必要が生じて，問題がかえって難しくなってしまいました．

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