【２】類体論

　２次体における素数の分解

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３），Ｑ（√３）

はいずれも類数が１であって，これらの体の整数環は一意分解整域となります．したがって，素数は素イデアルの積としてただ１通りに表されます．

　それに対して，Ｑ（√−５）やＱ（√−６）は類数が２であり，Ｚ（√−５）やＺ（√−６）は一意分解とは限らないことを意味しています．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　類数１では，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，・・・の形に書ける素数の場合，Ｑ（√−１）やＱ（√−２）においてｐが完全分解するための必要十分条件

　　Ｑ（√−１）　←→　１（ｍｏｄ４）

　　Ｑ（√−２）　←→　１，３（ｍｏｄ８）

がそのままだったのに対して，類数２では，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2，・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります．

　ｐ≠２，５でない素数とするとき

　　「ｐが２０で割ると１または９余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2」

　ｐ≠２，３でない素数とするとき

　　「ｐが２４で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2」

　すなわち，Ｑ（√−５）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，３，７，９（ｍｏｄ２０）

Ｑ（√−６）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，５，７，１１（ｍｏｄ２０）

に較べて少しずれが生じてしまうのです．

　ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝

５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

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