［補］ヴィーフェリッヒ素数

　フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となるが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがある．そのとき，ｐをヴィーフェリッヒ素数という．ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られている．

　なお，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られている．

［補］ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

［補］クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

　正則素数ｐはＢp-3までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

　また，ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

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