［補］重さ０の保型形式

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　　Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　　　ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）

です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素

を満たすというわけです．

　保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開のもち，

　　Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

　　Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和

　ベルヌーイ数を用いると

　　Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n

また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより

　　Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です． 　

　アイゼンシュタイン級数を用いると

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24

　　　　 ＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･

は

　　Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)

と表されます．

　１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に重さ０の保型関数

　　ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）

を構成しました．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，

　　j(z)=E4(z)^3/Δ(z)

　　　　＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・

と展開されます．

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