もし，仮に加法の素因数分解を考えれば，たとえば，

　　１０＝３＋７＝５＋５＝２＋３＋５＝・・・

と幾通りもの素因数分解が考えられるところである．（ｐ（１０）＝４１通りの方法がある．）

　それに対して，乗法の素因数分解は順序の違いを除けば１通りしかないというのが「算術の基本定理」である．

　　１０＝２・５＝５・２

　物質の世界において，原子が分裂することは一大事であるが，数の世界において，素数が分裂することは一大事である．たとえば，

　　ａ＋ｉｂ√５　　（ａ，ｂは整数）

の形の数の世界を考えると，この世界では

　　２１＝３×７＝（４＋ｉ√５）（４−ｉ√５）

のように素因数分解の一意性が成り立たない．

　　Ｚ（ｉ），Ｚ（√−２），Ｚ（√２），Ｚ（√３），Ｚ（√６）

など，Ｚ（√ｍ）という形の環（ｍは平方因子をもたない整数）でユークリッド整域になるものは２０個くらいしかないことが知られていることを補足しておきたい．そこには大切な法則ながあるに違いない．

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　Ｑ（ｉ）の整数環は一意分解整域である．つまり，どの整数ａ＋ｂｉも素数の積で，順序は無視して一通りに表される．さらにこの環は整除のアルゴりズムが定義されるユークリッド整域である．

　整数環Ｚもユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｚはｎ＝１の円分体Ｑ（ξn）の整数環と考えられる．

　虚２次体の単数が±１でないものが２つある．

　　Ｑ（ｉ）→±１，±ｉ

　　Ｑ（ω）→（（−１＋ｉ√３)/2))^j，ｊ＝０〜５

　虚２次体Ｑ（√−ｄ）の類数が１であるｄは９個ある．

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４２，６７，１６３

この体の整数は，素数の積で順序は無視して一通りに表される．ガウスはこの９個をしっていたが，他にはないということがわかったのは１９６６年になってからである．後半の４つ，ｄ＝１９，４２，６７，１６３に対し，Ｑ（√−ｄ）の整数環はユークリッド整域ではないので注意．

　虚２次体Ｑ（√−ｄ）の類数が２となるｄは９個ある．

　　ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

　実２次体Ｑ（√ｄ）の整数環がノルムの絶対値に関してユークリッド整域となるのは，次の１６個である．

　　ｄ＝２，３，５，６，７，１１，１３，１７，１９，２１，２９，３３，３７，４１，５７，７３

整除のアルゴリズムが定義できる整域をユークリッド整域という．

　円分体Ｑ（ξn）の整数が素数の積として一通りに表されるｎ（≠２　ｍｏｄ４）は，次の３０個である．

　　ｎ＝１，３，４，５，７，８，９，１１，１２，１３，１５，１６，１７，１９，２０，２１，２４，２５，２７，２８，３２，３３，３５，３６，４０，４４，４５，４８，６０，８４

　円分体Ｑ（ξn）の整数環は

　　ｎ＝１，３，４，５，７，８，９，１１，１２，１５，１６，２０，２４

のとき，ユークリッド整域である．ｎ＝３２のときはそうではない．

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　Ｑ（√−２）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｑ（√２）も同じ．

　Ｑ（√−３）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｑ（√３），Ｑ（ξ3）も同じ．

　Ｑ（ξ4）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（√−５）の類数は２．ｄ＝５はＱ（√−ｄ）の類数が２である最小のｄ．

Ｑ（√５），Ｑ（ξ5）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（√−６）の類数は２．Ｑ（√６）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（√−７）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｑ（√７），Ｑ（ξ7）も同じ．

　Ｑ（ξ8）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（ξ9）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（√１０）の類数は２．ｄ＝１０はＱ（√）の類数が２となる最小のｄ．

　Ｑ（√−１１）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｑ（√１１），Ｑ（ξ11）も同じ．

　Ｑ（ξ12）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（√−１３）の類数は２．Ｑ（√１３）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．この類数は１である．Ｑ（ξ13）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−１５）の類数は２．Ｑ（ξ15）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（ξ16）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√１７）のの整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｑ（ξ17）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−１９）の整数環は一意分解整域であるが，ユークリッド整域ではない．Ｑ（√１９）の整数環はユークリッド整域である．Ｑ（ξ19）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ20）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ21）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−２２）の類数は２．

　Ｑ（ξ24）の整数環はユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．

　Ｑ（ξ25）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ27）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ28）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√２９）のの整数環はユークリッド整域である．

　Ｑ（ξ32）の整数環は一意分解整域であるが，ユークリッド整域ではない．

　Ｑ（√３３）のの整数環はユークリッド整域である．Ｑ（ξ33）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−３５）の類数は２．Ｑ（ξ35）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ36）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−３７）の類数は２．Ｑ（√３７）の整数環はユークリッド解整域である．

　Ｑ（ξ40）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√４１）の整数環はユークリッド解整域である．Ｑ（ξ41）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−４３）の整数環は一意分解整域であるが，ユークリッド整域ではない．

　Ｑ（ξ44）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ45）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（ξ48）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−５１）の類数は２．

　Ｑ（√５７）の整数環はユークリッド解整域である．

　Ｑ（√−５８）の整数環はユークリッド解整域である．

　Ｑ（ξ60）の整数環は一意分解整域である．

　Ｑ（√−６７）の整数環は一意分解整域であるが，ユークリッド整域ではない．

　Ｑ（√７３）の類数は２．ｄ＝７３はＱ（√ｄ）の類数が２である最大のｄ．

　Ｑ（√７９）の類数は３．ｄ＝７９はＱ（√ｄ）の類数が３である最小のｄ．

　Ｑ（√８２）の類数は４．ｄ＝８２はＱ（√ｄ）の類数が４である最小のｄ．

　Ｑ（ξ84）の整数環は一意分解整域である．ｎ＝８４はそうなる最大のｎ．

　Ｑ（√−９１）の類数は２．

　Ｑ（√−１１５）の類数は２．

　Ｑ（√−１２３）の類数は２．

　Ｑ（√−１６３）の類数は１．ｄ＝１６３はＱ（√−ｄ）の類数が１である最大のｄ．

　Ｑ（√−１８７）の類数は２．

　Ｑ（√２２６）の類数は８．ｄ＝２２６はＱ（√ｄ）の類数が８である最小のｄ．

　Ｑ（√−２３５）の類数は２．Ｑ（√２３５）の類数は６．ｄ＝２３５はＱ（√ｄ）の類数が６である最小のｄ．

　Ｑ（√−２６７）の類数は２．

　Ｑ（√４０１）の類数は５．ｄ＝４０１はＱ（√ｄ）の類数が５である最小のｄ．

　Ｑ（√−４０３）の類数は２．

　Ｑ（√−４２７）の類数は２．ｄ＝４２７はＱ（√−ｄ）の類数が２である最大のｄ．

　Ｑ（√５７７）の類数は７．ｄ＝５７７はＱ（√ｄ）の類数が７である最小のｄ．

　Ｑ（√１１２９）の類数は９．ｄ＝１１２９はＱ（√ｄ）の類数が９である最小のｄ．

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