【１】ウィグナー分布（エネルギー準位の固有値分布）

　対称なランダム行列Ｈを，ユニタリー変換

　　Ｈ’＝ＷＨＷ~

して，Ｈの固有値：Ｅ1，Ｅ2，・・・，Ｅnを確率変数とする同時確率分布関数

　　Ｐ｛Ｅi｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ1^2＋・・・＋Ｅn^2)/４ａ^2}Π(Ｅj−Ｅk)^β

を導出する．

　Π(Ｅj−Ｅk)は差積を表すのだが，簡単のため，ｎ＝２の場合を考えてみると，

　　Ｐ｛Ｅ1，Ｅ2｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ1^2＋Ｅ2^2)/４ａ^2}(Ｅ2−Ｅ1)^β

　２変数Ｅ1，Ｅ2（＞Ｅ1）を

　　Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2，Ｓ＝Ｅ2−Ｅ1

で置き換えると，ヤコビアンは

　　Ｊ＝ｄ（Ｅ1，Ｅ2）／ｄ（Ｅ，Ｓ）＝１／２

　したがって，

Ｐ｛Ｅ，Ｓ｝＝Ｃｅｘｐ{-(Ｅ^2＋Ｓ^2)/８ａ^2}Ｓ^βＪ

Ｐ｛Ｅ，Ｓ｝ｄＥｄＳ＝ＣＪｅｘｐ{-(Ｅ^2)/８ａ^2}ｄＥ＊Ｓ^βｅｘｐ{-(Ｓ^2)/８ａ^2}ｄＳ

　よって，準位間隔がＳとＳ＋ｄＳの間に落ちる確率は

　　Ｐ｛Ｓ｝＝（定数）Ｓ^βｅｘｐ{-Ｓ^2)/８ａ^2}　　　（０＜Ｓ＜∞）

これがウィグナー分布と呼ばれる最隣接間隔分布であり，Ｓが０でないところにピークをもち，隣接する準位の反発を表す関数である．

　最隣接間隔分布は，尺度母数ａや形状母数βの値によって，

　　p(s)=π/2sexp(-π/4s^2)

　　p(s)=32/π^2s^2exp(-4/πs^2)

などとなるが，指数関数の引き数は前者も後者も２乗の形s^2であることに注意されたい．

　量子系のエネルギー準位間に強い反発が生じると，エネルギー準位の最近接間隔分布はウィグナー分布に一致する．一方，可積分系では準位間の反発がなく，ポアソン分布

　　p(s)=exp(-s)

にしたがう．近可積分系のときには，ウィグナー分布とポアソン分布の中間をとるのだが，実際，最隣接間隔分布は中間の分布になることが多いという．

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　ここではエネルギー準位の最隣接間隔分布について述べたが，ウィグナー分布は，対称行列の固有値分布に登場する分布である．

　ｎ次の対称行列Ｈの固有値はすべて実数であり，それらを並べて，

　　λ1≦λ2≦・・・≦λn

とするとき，ｎ→∞のときの挙動，すなわち，固有値の漸近分布を調べたいのであるが，１９５８年，ウィグナーは，ｎ→∞のとき

　　ａ√ｎ≦λ≦ｂ√ｎなる固有値の数／ｎ　→　∫(a,b)φ(t)dt

　　　　　ここで，φ(t)=1/2πm^2√(4m^2-t^2)

が成り立つことを証明した．

　分布関数φをもつ分布を「ウィグナー分布」といい，そのグラフは半円で与えられるからこの定理を「半円則」ともいうのだが，ウィグナーの半円則は近年大いに発展したランダム行列の原型となっている．

　ところで，数論における楕円曲線のヴェイユ・ゼータに関する佐藤（幹夫）予想と，対称行列の固有値分布に関するウィグナーの半円則は，一方は物理学，他方は数論に関係していて出所はまったく異なる．にも関わらず，佐藤予想

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　→　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

ここで，ｔ＝ｃｏｓθとおけば，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　→　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となるから，これも１種の半円則である．

　乱歩の確率論ではレヴィの「逆正弦則」というものもあるが，レイリー分布や１次元酔歩の再帰確率に関する母関数：(1-t^2)^(-1/2)，２次元酔歩の母関数は楕円積分：2/πK(t)など，ここに掲げたφ(t)=2/π√(1-t^2)の類似物も登場する．したがって，ウィグナーの半円則とはまったく関係なくもないと思われるのだが，・・・．→コラム「格子上の確率論（その６）」参照．

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