シンク関数（あるいはカージナルサインとも呼ばれる）とは，

　 sinc(x)=sin(x)/(x)

で定義される関数です．ｘ＝０のときは，

　　sinc(0)=1

と定めることにします．シンク積分（あるいはディリクレ積分）

　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．

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　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2

も成り立ち，これらは一般に

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2

と書くことができる．

　Mathematicaを用いて計算してみても，

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(2i+1),i=0~

において，ｉ≦６でπ/2となる．これらの計算から一般的な法則性が成り立つと思われた。

　ところが，ｉ＝７のとき，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π

　　R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000

　　 =0.499999999992646･･･

となって，π/2とはならないのである．

　さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π

　　R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000

ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．

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　次に，係数を変えて

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(3i+1),i=0~

を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．

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　結局，自力で証明することを早々に諦めて，

　　David Borwein,Johnathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals; The Ramanujan Journal, in press. CECM preprint 99,142 (available from http://www.cecm.sfu.ca/preprints)

を参照することにした．

　ここでは紹介しないが，フーリエ変換によって解析学的に証明される．それによると

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx

は，Σｋ＜２のときπ/2となるということである．すなわち，k=1/(2i+1)の場合，第６項までだと

　　1+1/3+･･･+1/13<2

だが，第７項まででは

　　1+1/3+･･･+1/13+1/15>2

また，k=1/(3i+1)の場合，第１０項まで計算しても

　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

なのである．

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