【２】楕円曲線とモジュラー形式

アイゼンシュタイン級数を用いると，ラマヌジャン関数は，

Δ(z)＝(E4(z)^3-E6(z)^2)/1728＝Στ（ｎ）ｚ^n

＝ｚ＋τ（２）ｚ^2＋τ（３）ｚ^3＋・・・　　（カスプ形式）

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実は任意のモジュラー形式はＥ4(z)とＥ6(z)の多項式である．

　　ｆ（ｚ）＝Ｆ（Ｅ4(z)，Ｅ6(z)）

これは相当に驚くべき定理である．たとえば，重み０のモジュラー形式は

　　ｊ（γ（ｚ））＝ｊ（ｚ）

すなわち，モジュラー群で不変な上半平面上の解析関数である．

　　ｊ（ｚ）＝Ｅ4^3／Δ

として構成することができる．そのｑ展開は

　　ｊ（ｚ）＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋・・・

で，１／ｑから始まる．その係数は，モンスター・ムーンシャインと関係していることは良く知られている．

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