有限体上の楕円曲線

　　ｙ^2＋ｙ＝ｘ^3−ｘ^2　　（ｍｏｄｐ）

の解を探すことにする．

　ｐ＝５の場合，（ｘ，ｙ）＝（０，０），（０，４），（１，０），（１，４）の４つある．一般に，解の個数はおおよそｐ個であることが知られていた．

　実際の個数が

　　ｐ−ａp

に等しいとすると，ｐ＝５の場合，４＝５−ａ5であるから，ａ5＝１となる．

　ｐが小さいうちは簡単に計算できたが，ｐが大きくなるにつれてどんどん複雑になる．ａpを求める方法はあるのだろうか？　実は，すべてのａpを生成する方法があることが知られている．

　１９５４年にドイツの数学者アイヒラーが発見した生成規則は，

　　ｑ（１−ｑ）^2（１−ｑ^11）^2（１−ｑ^2）^2（１−ｑ^22）^2（１−ｑ^3）^2（１−ｑ^33）^2（１−ｑ^4）^2（１−ｑ^44）^2・・・

＝ｑΠ（１−ｑ^a）^2（１−ｑ^11a）^2

である．

　これを展開すると

ｑ−２ｑ^2−ｑ^3＋２ｑ^4＋ｑ^5＋２ｑ^6−２ｑ^7−２ｑ^9−２ｑ^10＋ｑ^11−２ｑ^12＋４ｑ^14＋・・・

　係数ｂmはランダムにみえるが，実はａp＝ｂpが成り立っていて，

　　ａ5＝ｂ5＝１

を生成できるのである．

　また，有限体上の任意の楕円曲線に対して

　　ａp＝ｂp

であるようなモジュラー形式が存在するというのが，谷山・志村。ヴェイユ予想である．

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