ピタゴラス数は方程式ｘ2 ＋ｙ2 ＝１に有理数解があるかどうかを考える問題に対応しますが、フェルマーの問題を解くことは、ピタゴラス方程式を一般化した任意の２変数多項式ｘn ＋ｙn ＝１に有理数解があるかどうかに置き換えて考えることができます。

　整数解を要求する２変数１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，２変数２次方程式ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは整数）などは、ギリシャのディオファントスにちなんでディオファントスの不定方程式と呼ばれます。たとえば、ｙ2 ＝ｘ3 −２の整数解について、ディオファントスは、ｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき、ｙ2 ＝ｘ3 −２に代入するとｔ2 ＋２ｔ＋１＝ｔ3 −３ｔ2 ＋３ｔ−３。この式はｔ（ｔ2 ＋１）＝４（ｔ2 ＋１）と変形できるので、ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています。しかし、端的にいって、このような解き方にはアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく、勘や経験や個々の問題の性質に負っていて、決定打ではありません。問題はこの型の不定方程式に対するすべての整数解、あるいは有理数解を求めることですが、ステップアップしながら考えてみることにしましょう。

ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます。

ｂ）二次曲線ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＝ｃのグラフは円錐曲線ですが、この方程式が有理数解を１つもてば、実は無数のもつことを示すことができます。たとえば、方程式ｘ2 ＋ｙ2 ＝１には、無限に多くの有理数解、（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します。ところが、半径が√３の円、ｘ2 ＋ｙ2 ＝３になると有理点は全くなってしまいます。２次曲線は有理点を無限のもつか、１つももたないかのどちらかです。

ｃ）「三次曲線ａｘ3 ＋ｂｙ3 ＝ｃや楕円曲線ｙ2 ＝ａｘ3 ＋ｂｘ2 ＋ｃｘ＋ｄなど、３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない。」

　これを証明したのはジーゲルで、その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています。この定理により、すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが、少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります。

ｄ）また、モーデル・ファルティングスの定理（１９８３）とは、「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない。」というものです。２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます。一方、種数が１である曲線に楕円曲線があります。したがって、有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり、直線（種数０）か、円錐曲線（種数０）か、楕円曲線（種数１）に限られてきます。また、リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で、これはｎ＝３のとき１ですが、ｎ≧４のときは２以上となりますから、そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです。

　円錐曲線の有理点は無限ですが、楕円曲線の有理点は有限です。実際問題として、有限とはいってもものすごい大きさこともあるわけですが、無限よりは範囲が狭められたことは確かです。すなわち、フェルマーの方程式に解があるとすればそれぞれのｎに対して解は高々有限です。モーデル・ファルティングスの定理によって有限個しか解がないことはわかりましが、１つもないかどうかはわかりません。フェルマーの予想が証明されたというのではありませんが、それでも大変な前進であることは明らかです。

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