y^2+y=x^3-x^2 (mod p)

を考えます。pを変えて、解の個数を求めると

p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,1,37,41,・・・

4,4,4,9,10,9,19,19,24,29,24,34,49,・・・

となります。

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いっぽう、

f(q)=qΠ(1-q^2)^2(1-q^11n)^2

=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7-2q^9-2q^10+q^11-2q^12+4q^13+・・・

において、

指数=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,1,37,41,・・・

指数-係数=4,4,4,9,10,9,19,19,24,29,24,34,49,・・・

と全く同じになっています。

このことから、谷山・志村はすべての楕円曲線はモデュラーであると予想しました。

この予想は2001年完全に証明されました(modularity定理)。

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谷山・志村はフェルマーの最終定理とは全然関係のないところで研究していたのですが、1986年、リベットとフライは谷山・志村予想が正しいと証明できればフェルマーの最終定理も正しいことが証明できることを示しました。 「フェルマー予想の反例に対して、楕円曲線y^2=x(x-a^p)(x+b^p)はモデュラーではない」

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