大学時代の友人より、医療・介護のこと、数学のことなどメールをいただいた。

数学のこと。

NHKの笑わない数学（テレビ),NHKの科学と人間、数学者達にみる情緒の世界（ラジオ）などを最近は、わからないながらも視聴してます。

佐藤先生を思い出します。・・・

「笑わない数学」のことは聞いたことはあったが、見たことがなかったので、購読してみた。

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素数が無限に存在することは2300年前、古代ギリシャのユークリッドによって証明されていますが、オイラーはゼータ関数のオイラー積表示を応用することによって素数が無限に存在することを示しています。

（証明）

Σ1/n^s=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+・・・

Πp^s/(p^s-1)=2^s/(2^s-1)・3^s/(3^s-1)・5^s/(5^s-1)・7^s/(7^s-1)・・・

Σ1/n^s=Πp^s/(p^s-1)

s→1のとき、Σ1/n^s→∞

もし、素数が有限個であるとすると右辺は有限値であるから矛盾する。よって、素数は無限に存在する

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s=2のとき、

Σ1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+・・・

Πp^2/(p^2-1)=2^2/(2^2-1)・3^2/(3^2-1)・5^2/(5^2-1)・7^2/(7^2-1)・・・

オイラーはバーゼル問題を解く過程で

Σ1/n^2=Πp^2/(p^2-1)=π^2/6

となることを突き止めた。

素数とπがつながったのであるが、この発見によって、素数の並びは無秩序ではなく、重要な意味があるかもしれないと考えられるようになった。

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x=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/7^2+1/8^2+1/9^2+・・・

この式の両辺に1/2^2をかけたものを引くと右辺の分母(2k)^2のものが消えて

(1-1/2^2)x=1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/9^2+・・・

この式の両辺に1/3^2をかけたものを引くと右辺の分母(3k)^2のものが消えて

(1-1/2^2)(1-1/3^2)x=1+1/5^2+1/7^2+・・・

この式の両辺に1/5^2をかけたものを引くと右辺の分母(5k)^2のものが消えて

(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)x=1+1/7^2+・・・

これを繰り返すと

x=2^2/(2^2-1)・3^2/(3^2-1)・5^2/(5^2-1)・7^2/(7^2-1)・・・

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