直角双曲線ｘｙ＝１に対しては

点Ｐを直角双曲線上の点とし，その点での接線がｘ軸，ｙ軸と交わる点をＭ，Ｎとする．このとき，ｘ軸，ｙ軸と線分ＭＮで囲まれる面積△ＯＭＮは一定である．　　（原点Ｏ）

　これも含め，楕円と双曲線の場合は原点と接線の両端を結ぶ三角形の面積は一定であった．そのため，扇型の面積も一定となる．放物線の場合も三角形の面積は一定であろうか？

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　２つの２次曲線

［１］ｙ＝１／２・ｘ^2

［２］ｙ＝１／２・ｘ^2＋ｃ^2

がある．

　点Ｐ（ｘ0，ｙ0）とすると，ｙ0＝１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　接線はｙ−ｙ0＝ｘ0（ｘ−ｘ0）

ｙ＝ｘ0ｘ−ｘ0^2＋ｙ0＝ｘ0ｘ−１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　交点のｘ座標は

　　１／２・ｘ^2＝ｘ0ｘ−１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　　ｘ^2−２ｘ0ｘ＋ｘ0^2−２ｃ^2

の解で与えられる．この解をα，β（α＜β）とすると，

　　α＋β＝２ｘ0

　　αβ＝ｘ0^2−２ｃ^2

　　β−α＝（４ｘ0^2−４ｘ0^2＋８ｃ^2）^1/2＝ｃ２√２

　　β^2−α^2＝ｃｘ0４√２

　　β^3−α^3＝（β−α）（α^2＋αβ＋β^2）＝（β−α）｛（α＋β）^2−αβ｝＝ｃ２√２｛４ｘ0^2−ｘ0^2＋２ｃ^2｝＝ｃｘ0^2６√２＋ｃ^3４√２

　三角形の面積は

１／２｜α，１／２α^2｜

　　　｜β，１／２β^2｜

＝１／４・αβ（β−α）＝ｃ（ｘ0^2−２ｃ^2）／√２

　これはｘ0の依存してしまう．

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