２つの２次曲線

［１］ｙ＝１／２・ｘ^2

［２］ｙ＝１／２・ｘ^2＋ｃ^2

がある．

　点Ｐを［２］上の点とし，その点での接線が［１］と交わる点をＭ，Ｎとする．このとき，線分ＭＮと［１］で囲まれる面積は一定である．

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　点Ｐ（ｘ0，ｙ0）とすると，ｙ0＝１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　接線はｙ−ｙ0＝ｘ0（ｘ−ｘ0）

ｙ＝ｘ0ｘ−ｘ0^2＋ｙ0＝ｘ0ｘ−１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　交点のｘ座標は

　　１／２・ｘ^2＝ｘ0ｘ−１／２・ｘ0^2＋ｃ^2

　　ｘ^2−２ｘ0ｘ＋ｘ0^2−２ｃ^2

の解で与えられる．この解をα，β（α＜β）とすると，

　　α＋β＝２ｘ0

　　αβ＝ｘ0^2−２ｃ^2

　　β−α＝（４ｘ0^2−４ｘ0^2＋８ｃ^2）^1/2＝ｃ２√２

　　β^2−α^2＝ｃｘ0４√２

　　β^3−α^3＝（β−α）（α^2＋αβ＋β^2）＝（β−α）｛（α＋β）^2−αβ｝＝ｃ２√２｛４ｘ0^2−ｘ0^2＋２ｃ^2｝＝ｃｘ0^2６√２＋ｃ^3４√２

　Ｙ＝ｘ0ｘ−１／２・ｘ0^2＋ｃ^2−１／２・ｘ^2

とおくと，面積は

　　Ｓ＝∫（α，β）Ｙｄｘ＝［１／２ｘ0ｘ^2−（１／２・ｘ0^2−ｃ^2）ｘ−１／６・ｘ^3］（α，β）＝１／２ｘ0（β^2−α^2）−（１／２・ｘ0^2−ｃ^2）（β−α）−１／６（β^3−α^3）

＝２ｃｘ0^2√２−（１／２・ｘ0^2−ｃ^2）２ｃ√２−ｃｘ0^2√２−ｃ^3２√２／３

＝４／３・√２・ｃ^3　　（一定）

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